Modelos matemáticos
Para estudiar el comportamiento
de los sistemas se utilizan modelos matemáticos, que se representan por
ecuaciones, las cuales describen las relaciones entre la entrada y salida de un
sistema, y que también se aprovechan para predecir el comportamiento de un
sistema en condiciones especificas. Las bases de estos modelos se obtienen de
leyes físicas fundamentales que rigen el comportamiento de un sistema.
Elementos básicos de sistemas mecánicos
Los elementos básicos que se
utilizan para representar sistemas mecánicos son los resortes, amortiguadores y
masas. Los resortes representan la rigidez del sistema; los amortiguadores, las
fuerzas que se oponen al movimiento, es decir, los efectos de fricción, y las
masas, la inercia o resistencia de la aceleración.
La rigidez de un resorte se
describe por la relación entra la fuerza (f), que se usa para extender o
comprimir dicho resorte y la extensión o compresión (x) resultante. Un resorte
lineal se describe como:
F=kx
El elemento básico
amortiguador representa el tipo de fuerzas que se originan cuando se intenta
empujar un objeto a través de un fluido, o al desplazar un objeto en contra de
fuerzas de fricción. El amortiguador se representa por un pistón que se mueve
en un cilindro cerrado. Para que el pistón se mueva es necesario que el fluido
de uno de los lados del pistón fluya a través, o hacia delante, de este. Esto
produce una fuerza resistiva. En el caso ideal, la fuerza de amortiguamiento o
resistiva (f) es proporcional a la de amortiguamiento o resistiva. En el caso
ideal, la fuerza de amortiguamiento o resistiva (f) es proporcional a la
velocidad (v) con la que se mueve el pistón, es decir:
F=cv donde "c" es constante
El elemento básico masa
tiene la propiedad de que cuanto mayor sea la masa, mayor será la fuerza
necesaria para acelerarla. La relación entre la fuerza (f) y la aceleración (a)
es F=ma (segunda ley de Newton), donde la constante de proporcionalidad entre
la fuerza y la aceleración es la constante denominada masa (m). Tenemos que:
F=ma = m dv/dt = m d2x/dt2
Sistemas rotacionales
Los elementos básicos en los
sistemas rotacionales son el resorte de torsión, el amortiguador giratorio y el
momento de inercia, es decir, la inercia de una masa con movimiento giratorio.
Con un resorte de torsión,
el desplazamiento angular (θ) es proporcional al toque (T), por lo tanto:
T= k θ
En el amortiguador giratorio
un disco gira dentro de un fluido y el toque resisitivo (T) es proporcional a
la velocidad angular (w), y dado que la velocidad angular es igual a la razón
de cambio del ángulo, es decir, d θ l dt.
T=wc= c dθ/dt
El elemento
básico momento de inercia tiene la propiedad de mientras mas grande sea el
momento de inercia (I), mayor será el tanque requerido para producir una aceleración
angular, (a):
T= Ia
Tomando en
cuenta que la aceleración angular es igual a la razón de cambio de la velocidad
angular, es decir dw/dt y la velocidad angular es igual a la razón de cambio
del desplazamiento angular, entonces:
T= I dw/dt = I d(dθdt)/dt = I d2θ/dt2
Elementos básicos de sistemas eléctricos
Los elementos
básicos de los sistemas eléctricos son los inductores, capacitores y
resistencias. En un inductor la diferencia de potencial (v) presente en todo
momento depende de la razón de cambio de la corriente (di/dt) que pasa por él
es decir:
v= L di/dt
donde (L) es la
inductancia.
En un
capacitador, la diferencia de potencial depende de la carga (q), de las placas
del capacitor en determinado momento
v= q/C
donde (C) es la
capacitancia.
Dado que v=q/C,
entonces:
dv/dt = I/C dq/dt = I/C i
En una
resistencia, la diferencia de potencial (v), en un instante dado dependerá de
la corriente (i), que circule por ella, es decir:
v= Ri
donde (R) es la
resistencia.
La potencia (P)
que disipa una resistencia cuando tiene una diferencia de potencial (v) es:
P= iv = v2/R
Elementos básicos en sistemas fluidos
En los sistemas
de fluidos hay tres elementos básicos que se pueden considerar los equivalentes
de la resistencia eléctrica, la capacitancia y la inductancia. Se puede
considerar que los sistemas de fluidos pertenecen a dos categorías:
hidráulicos, donde el fluido es un liquido no compresible; y neumáticos los
cuales contienen gases compresible que, por lo tanto, experimentan cambios de
densidad.
La resistencia
hidráulica es la que se presenta un liquido cuando fluye a través de una
valvula o debido a los cambios en el diámetro de la tubería. La relación entre
el gasto volumétrico de un liquido (q), que pasa por un elemento de
resistencia, y la diferencia de presión resultante, (p1 – p2)
es:
p1
– p2 = Ra
donde (R) es una
constante denominada resistencia hidráulica.
Capacitancia
hidráulica es el termino que describe la energía almacenada en un liquido
cuando éste se almacena en forma de energía potencial, es decir, lo que se
conoce como carga de agua.
q1 – q2 = dV/dt
La inercia
hidráulica es el equivalente de la inductancia en un sistema eléctrico o de un
resorte en los sistemas mecánicos. Por acelerar un fluido y así aumentar su
velocidad, se requiere una fuerza. Considere un bloque de masa liquida (m). La
fuerza neta que actúa sobre el liquido es:
F1 – F2 = p1A
– p2A = (p1 – p2) A
Después de una
serie de conversiones llegamos a la ecuación final:
I = Lp/A
donde (I)
representa la inercia hidráulica.
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